Unter dem Betrag einer Zahl wird deren Abstand zum Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl definiert. Es gilt also $|2| = 2$ und $|-2| = 2$. Der Betrag ist immer grösser oder gleich 0.
Bei Betragsgleichungen befindet sich die gesuchte Unbekannte in der Betragsfunktion. Da der Wert innerhalb der Betragsfunktion sowohl positiv als auch negativ sein kann muss per Definition eine Fallunterscheidung vorgenommen werden.
Beispiel aus "Die Mathematik der Technischen Berufsmaturität", Seite 27:
$$ |2x-3|=4x-7 \\ $$
Es gilt: $$ \begin{align} 2x - 3 \geq 0 && \text{Umformung der Ungleichung nach x} \\ x \geq \frac{3}{2} && \end{align} $$ Auflösen des Betrags ergibt folglich \begin{align} 2x - 3 = 4x-7 && \text{|+7 | -2x} \\ 4 = 2x && \text{|:2} \\ x_{1} = 2 \end{align}
Es gilt: $$ \begin{align} 2x - 3 \lt 0 && \text{Umformung der Ungleichung nach x} \\ x \lt \frac{3}{2} && \end{align} $$
Auflösen des Betrags ergibt folglich \begin{align} -(2x - 3) = 4x-7 && \\ -2x + 3 = 4x-7 && \text{|+2x | +7} \\ 10 = 6x && \text{|:6} \\ x_{2} = \frac{5}{3} && \end{align}
Die Lösung $x_{2}$ erfüllt die gestellte Bedingung nicht:
$$ x_{2}=\frac{5}{3} > \frac{3}{2} $$
Folglich ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{2\}$