Notationenen der Mengenlehre
Gleichheit von Mengen
Eine Menge $X$ ist genau gleich einer Menge $Y$, wenn jedes Element der Menge $X$ auch in der Menge $Y$ vorkommnt und umgekehrt.
- $\{1,2,3\} = \{3,2,1\}$
- $\{1,2,3\} = \{3,2,2,1\}$
- $\{1,2,3\} \neq \{3,9,1\}$
Ist Element von
Wenn ein Element in einer Menge enthalten ist wird das Symbol $\in$ verwendet. Ist ein Element nicht in einer Menge enthalten, so wird das Symbol $\notin$ verwendet.
- $5 \in \{5,6,7,8,9,10\}$
- $12 \notin \{5,6,7,8,9,10\}$
- $\{5\} \notin \{5,6,7,8,9,10\}$
- $\{99\} \in \{4,7,\{99\}\}$
Formale Bedinungen
Für formale Bedinungen wird das Symbol $|$ verwendet, welches als "so, dass" oder "für das gilt" gelesen wird.
- $\{x \in \mathbb{N} | 5 \leq x \leq 10 \} = \{5,6,7,8,9,10\}$
- abgeschlossenes Intervall: $[a,b] = \{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b\}$
- offenes Intervall: $(a,b) = \{x \in \mathbb{R} | a < x < b\}$
Natürlich können formale Bedinnungen komplex formulerit werden, beispielsweise $Q = \{z|z=k^2 \land k \in \mathbb{N}\}$.
Mengenoperationen
Eine Mengenoperationen erzeugt mit Mengen als operanden neue Mengen.
Schnittmenge
Die Schnittmenge (auch Durchschnitt) aus den Mengen $X$ und $Y$ besteht aus allen Elementen die sowohl in $X$ als auch $Y$ vorkommen.
- $\{5,9\} \cap \{5, 10\} = \{5\}$ - Die Menge aus 5 und 9 geschnitten mit der Menge aus 5 und 10 ist gleich einer Menge mit dem Element fünf
Vereinigungesmenge
Die Vereinigungsmenge aus den Mengen $X$ und $Y$ besteht aus allen Elementen die entweder in $X$ oder in $Y$ vorkommen.
- $\{5,9\} \cup \{5, 10\} = \{5,9,10\}$ - Die Menge aus 5 und 9 vereinigt mit der Menge aus 5 und 10 ist gleich einer Menge mit den Elementen fünf, neun und zehn
Differenzmenge
Die Differenzmenge aus den Mengen $X$ und $Y$ besteht aus allen Elementen die in $X$ aber nicht in $Y$ vorkommen.
- $X = \{1,2,3,4\} \\ Y = \{3,6,9,12\} \\ X \backslash Y = \{1,2,4\}$ - Die Menge aus 1,2,3 und 4 ohne 3,6,7 und 12 ist gleich einer Menge mit dem den Elementen 1,2 und 4
Produktmenge
Die Produktmenge von X und Y ist die Menge alle Paare (x,y) mit $x \in X$ und $y \in Y$.
Mengenrelationen
Eine Mengenrelation drückt das Verhältnis von Mengen zu einander aus.
Teilmenge
Die Menge $X$ ist eine Teilmenge von $Y$, wenn jedes Element von $X$ auch in $Y$ enthalten ist.
- $\{5,9\} \subset \{5,6,7,8,9,10\}$
- $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
- $\{4,9\} \nsubseteq \{5,6,7,8,9,10\}$
- $\emptyset \subset \{5,6,7\}$
Absolutes Kompliment
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Relatives Kompliment
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